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S. Capparelli, P. Maroscia Alcuni problemi di matematica discreta corrispondente con: indicando la variabile con q, anziché con x, come si fa di solito, vale il seguente risultato notevole, dovuto a Eulero: Teorema: Con le notazioni precedenti, si ha: (5) dove |q| < 1. Dimostrazione: Infatti, esplicitando il prodotto al secondo membro, si ha: ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Ora, poiché abbiamo un numero finito di serie assolutamente convergenti (per |q| < 1), possiamo moltiplicarle tra loro termine a termine e raccogliere poi i termini così ottenuti. Si ha dunque: (6) A questo punto, se esaminiamo attentamente gli esponenti dei monomi che compaiono, per esempio, nell’ultima parentesi della (6), scopriamo che essi corrispondono esattamente alle partizioni di 4, nell’ordine: 4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1 Ebbene, non è difficile rendersi conto che ciò continua a valere in generale.