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PROGETTO ALICE 2012 - III • •• • vol. XIII • •• • n° 39 S. Capparelli, P. Maroscia Precisamente, per ogni n fissato, nello sviluppo (6) compaiono al secondo n membro esattamente p m(n) monomi del tipo q , poiché gli esponenti dei vari monomi di grado n “rappresentano” tutte le partizioni di n in parti minori o uguali a m. Il teorema è così dimostrato. È opportuno qui sottolineare l’importanza del risultato ottenuto, il quale consente di esprimere una serie infinita di potenze, con coefficienti interi incogniti, come una funzione razionale, molto più semplice da maneggiare. Tuttavia si tratta di un risultato generale, che non può essere utilizzato direttamente per studiare l’equazione (), ossia il Problema 1 (e sue genera- lizzazioni), perché lì intervengono soltanto partizioni in parti uguali a 1, 2, 4, 10. Ma, rileggendo la dimostrazione del teorema precedente, non è difficile convincersi che esso continua a valere anche, sostituendo la funzione generatrice " con una nuova funzione generatrice, diciamo: # # dove indica il numero delle partizioni di n in parti uguali a 1, 2, 4, 10, nel qual caso la (4) diventa: (5) A questo punto, per risolvere il Problema 1, basta semplicemente calcolare il coefficiente di q 20 nella serie di Mac Laurin della funzione che compare nel secondo membro della (5), ossia nel prodotto: 4 6 2 3 2 (7) (1 + q + q + q + …)(1 + q + q + q +…) 12 30 20 10 8 4 (1 + q + q + q +…)(1 + q + q + q +…) Alla fine, con un calcolo diretto o ricorrendo all’aiuto di un computer, si ottiene esplicitamente la serie cercata: 8 2 6 4 (7) 1 + q + 2q (1 + q) + 4q (1 + q) + 6q (1 + q) + 9q (1 + q) + 13q 10 14 12 18 16 (1 + q) + 18q (1 + q) + 24q (1 + q) + 31q (1 + q) + 39q (1 + q) 20 + 49q (1 + q) + …