Page 30 - progetto alice

S. Capparelli, P. Maroscia Alcuni problemi di matematica discreta Passiamo ora a illustrare varie soluzioni, cominciando da quella più elementare. Prima soluzione: Supponiamo per assurdo che esista un triangolo equilate- ro, diciamo T, avente come vertici dei nodi sicché la sua area sarà data da - . , essendo l la lunghezza di un suo lato. Consideriamo allora il rettan- / golo 0 “circoscritto” al triangolo T e avente i lati disposti lungo le linee del foglio quadrettato, come indicato qui sotto, in figura. A questo punto, poiché i vertici A, B, C, D del rettangolo 0 sono chiaramente dei nodi, si ha che: a) le lunghezze dei lati del rettangolo 0 sono date da numeri interi e quindi l’area di 0 sarà data da un numero intero; b) ciascuno dei triangoli in A, B, C ha un’area data da un multiplo intero di , essendo le lunghezze dei cateti date da numeri interi; c) di conseguenza, l’area di T, calcolata come differenza tra l’area di 0 e la somma delle aree dei triangoli rettangoli in A, B, C, sarà data da un numero razionale della forma: 1, con m intero positi- vo. Ma, come abbiamo osservato all’inizio, l’area di T è data da - . , dunque da un numero irrazionale, poiché l è certamente un / intero positivo. Si ottiene così una contraddizione, da cui la tesi. Fig. 1 È chiaro che l’argomentazione precedente risulta semplificata nel caso in cui si supponga che il triangolo T abbia un lato disposto lungo una linea orizzontale o verticale della quadrettatura.