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S. Capparelli, P. Maroscia Alcuni problemi di matematica discreta Ne segue che il triangolo T di vertici O, P, Q, con P = (a, b), Q = (c, d) risulta equilatero e avente come vertici dei nodi. A questo punto, osservando che, in virtù della (13), si ha: # (14) (*S?(*IS?(*G ?(*JS si può ripetere l’argomentazione precedente, ottenendo un nuovo triangolo equilatero T e così via. Poiché a priori tale procedimento può essere iterato indefinitamente, mentre d’altra parte i valori delle coordinate dei vertici dei triangoli equilateri via via ottenuti sono numeri interi sempre più piccoli (in valore assoluto), si ottiene una contraddizione, e il risultato è dimostrato. Quarta soluzione: Abbiamo già osservato che l’area di un ipotetico triango- lo equilatero avente come vertici dei nodi è data in ogni caso da un numero 2 irrazionale, precisamente: - . , con l intero positivo. / Ora, considerando un triangolo siffatto (supposto esistente) come illu- strato nella Fig. 3, possiamo calcolarne immediatamente l’area, utilizzando una formula generale che fornisce l’area di un triangolo per mezzo di un determinante (cfr. ad. es. Maroscia (2000)). Precisamente, con le notazioni sopra introdotte, si ha: I (15) Area (OPQ) = TUV2 < >T GJ Dunque l’area del triangolo equilatero in questione risulterebbe un numero razionale, ma ciò è una contraddizione, da cui la tesi. Quinta soluzione: Per finire, mostriamo che il problema in esame può essere risolto anche utilizzando un risultato generale, molto bello ed elegante, oltre 8 che utile, dovuto a G. Pick (1899) . Teorema: Sia W un poligono piano avente come vertici dei nodi di un foglio di carta quadrettata, o equivalentemente, dei punti di% . 8 Una dimostrazione di tale risultato si può trovare per esempio in Aigner, Ziegler (2006).