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PROGETTO ALICE 2012 - III • •• • vol. XIII • •• • n° 39 S. Capparelli, P. Maroscia Seconda soluzione: Supponiamo per assurdo che esista un triangolo equila- tero avente come vertici dei nodi, diciamo T. Allora, introdotto nel nostro piano % un sistema di coordinate cartesiane ortogonali x, y, come osservato all’inizio, non è restrittivo supporre (a meno di traslazioni e/o rotazioni) che il triangolo T sia contenuto nel semipiano y > 0 e abbia un vertice nell’origine e almeno un lato contenuto nel primo quadrante, come raffigu- rato qui sotto dal triangolo POQ: Fig. 2 Ora, se indichiamo con a, b rispettivamente gli angoli convessi (cioè minori di p) formati dalle semirette OQ, OP con il semiasse positivo dell’asse x, abbiamo che tg a e tg b risultano entrambi numeri razionali, poiché per ipotesi P e Q sono dei nodi, dunque punti a coordinate intere. A questo punto, utilizzando la formula generale: 234 235 234 5 ! 234235 si ha che 2364 57risulta un numero razionale. Ma, d’altra parte, = : 2364 57 23689;7 23 < > .(? ciò che è una contraddizione, da cui la tesi.