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S. Capparelli, P. Maroscia Alcuni problemi di matematica discreta Terza soluzione: Il problema può essere risolto anche per via aritmetica, utilizzando una proprietà elementare del numero 3 (che è collegato stretta- mente, come sappiamo, a un triangolo equilatero). Precisamente, vale il risultato seguente: Proposizione: Se la somma dei quadrati di due numeri interi x, y è divisibile per 3, allora x e y risultano entrambi divisibili per 3, ossia: 2 2 (9) 3|(x + y )@ 3| x, 3| y (x, y $% Dimostrazione: Infatti, supponiamo per assurdo che 3 non divida x, sicché x sarà della forma: 3u + 1 oppure 3u –1 A $ % e quindi sarà della forma: 3v + 1 B $ %. D’altra parte, C sarà della forma 3w oppure 3w +1 D $ %, a seconda che y sia rispettivamente un multiplo di 3 oppure no. Dunque in ogni caso !C non sarà divisibile per 3, contro l’ipotesi. Ne segue che 3 divide x e, similmente, 3 divide y, ossia la tesi. Riprendiamo ora la figura precedente e poniamo (con riferimento al si- stema di coordinate cartesiane ortogonali introdotto): P = (a, b), Q = (c, d). Consideriamo poi l’altezza OH relativa al lato PQ, sicché risulta: ! G I! J E F ? K H H Fig. 3