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PROGETTO ALICE 2012 - III • •• • vol. XIII • •• • n° 39 S. Capparelli, P. Maroscia Infatti, se per assurdo non esistessero due persone, tra gli n partecipanti alla festa, che incontrano uno stesso numero di amici, allora gli n valori a priori ammissibili per il numero degli amici dei partecipanti alla festa, vale a dire: 0, 1, 2, …, n – 1 dovrebbero necessariamente comparire tutti (essendo a due a due distinti tra loro). Ma ciò può non accadere, poiché, per quanto visto sopra, i valori estremi 0, n – 1 non possono presentarsi simultaneamente. Si ottiene così una contraddizione, da cui la tesi. Viene naturale qui fare un’osservazione di carattere generale. Precisa- mente, confrontando la dimostrazione per assurdo, appena sviluppata, con la dimostrazione precedente, questa appare certamente più interessante e ricca di prospettive, rispetto all’altra. Resta tuttavia il fatto, ben noto, che spesso la dimostrazione per assurdo è lo strumento più agevole (e a volte, l’unico) per provare un risultato in matematica. LE SORPRESE DELLA CARTA A QUADRETTI Problema 3: “Spiegare perché non è possibile disegnare su un foglio di carta a quadretti (arbitrariamente grande) un triangolo equilatero avente come vertici dei nodi.” Questa volta, si tratta di provare un risultato di “impossibilità”, così come accade nello studio dei problemi “classici” dell’antichità: la duplicazione del cubo, la trisezione dell’angolo, la quadratura del cerchio, oppure provare che p, e sono entrambi numeri irrazionali, anzi trascendenti (cfr. Artin (1997), Courant, Robbins (2000), Herstein (1994)). Pertanto, come vedre- mo, sarà necessario ricorrere a una “dimostrazione per assurdo”. Prima di illustrare alcune soluzioni del problema, osserviamo innanzitut- to che i nodi di un foglio di carta a quadretti non sono altro che i punti di intersezione delle linee orizzontali con le linee verticali. Inoltre, è del tutto naturale pensare di introdurre su un foglio di carta a quadretti (arbitraria- mente grande) un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, fissando l’origine in un nodo arbitrario e scegliendo come assi coordinati le due linee (orizzontale e verticale) passanti per esso, l’unità di misura essendo data dalla lunghezza del lato di un quadratino della maglia. In tal modo, i nodi del foglio possono venire identificati con i punti del piano a coordinate intere, ossia con i punti del piano % % , %.