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S. Capparelli, P. Maroscia Alcuni problemi di matematica discreta Ma in entrambi i casi si ottiene una contraddizione. Infatti, nel primo caso si avrebbe: p + 2 = 3(k + 1) e nel secondo caso: p + 4 = 3(k + 2), contro l’ipotesi che tali numeri siano entrambi primi. La tesi è così dimostrata. Osservazioni: (a) Conviene notare che, utilizzando un’argomentazione del tutto simile a quella appena sviluppata, si prova che: • (3, 7, 11) è l’unica progressione aritmetica di ragione 4 formata da numeri primi e di lunghezza > 2; • (3, 11, 19) è l’unica progressione aritmetica di ragione 8 formata da numeri primi e di lunghezza > 2; • (3, 13, 23) è l’unica progressione aritmetica di ragione 10 formata da numeri primi e di lunghezza > 2; • (3, 17, 31) è l’unica progressione aritmetica di ragione 14 formata da numeri primi e di lunghezza > 2, e così via. Analogamente, si prova per esempio che (5, 11, 17, 23, 29) è l’unica 10 progressione aritmetica di ragione 6 formata da numeri primi e di lunghezza > 4. (b) Con riferimento alle progressioni aritmetiche sopra considerate, è utile segnalare un risultato molto importante e profondo, di notevole difficoltà, dimostrato nel 2004 da Benjamin Green e Terence Tao , secondo cui “per 11 ogni intero n fissato, con n 2, esistono progressioni aritmetiche di lun- ghezza n formate da numeri primi”. Ancora una volta, vediamo comparire all’interno della matematica, in modo armonioso e misterioso al tempo stesso, ordine e disordine. 10 Una progressione aritmetica di ragione 6 formata da numeri primi e di lunghezza 4 è data, per esempio, da: 41, 47, 53, 59. 11 Terence Tao, che ha vinto la Medaglia Felds a soli 31 anni, nel 2006, è uno dei più grandi matematici viventi e per di più è molto impegnato nella divulgazione della matema- tica, a vari livelli. Vale certamente la pena di consultare il suo sito: http://www.math.ucla.edu/~tao/.