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PROGETTO ALICE 2012 - III • •• • vol. XIII • •• • n° 39 S. Capparelli, P. Maroscia UN GIOCO CON I COLORI Problema 6: “Dimostrare che, comunque si colorino i nodi di un foglio di carta a quadretti con due colori (rosso e blu), esiste sempre un rettangolo avente come vertici nodi di uno stesso colore.” Il contesto in cui ci muoviamo è lo stesso del Problema 3: l’unica differenza è che ora possiamo limitarci a considerare i nodi di un foglio di un ordinario quaderno a quadretti. C’è da osservare tuttavia che, se si avessero a disposi- zione pochi quadretti, e quindi pochi nodi, il problema potrebbe avere risposta negativa. Basta considerare per esempio i 16 nodi del seguente , quadrato 3 × 3, in cui, al posto dei colori abbiamo usato i simboli : Fig. 7 Conviene sottolineare che, nell’esempio precedente, non esistono né rettan- goli disposti lungo le linee della quadrettatura, né rettangoli disposti 16 trasversalmente rispetto ad esse , aventi come vertici nodi di uno stesso colore. Consideriamo dunque un normale foglio di carta quadrettata, in cui tutti i nodi sono stati colorati arbitrariamente con i colori rosso e blu. Ora, per poter fare il primo passo nella dimostrazione, abbiamo bisogno di ricavare una prima informazione “utile” a partire dalla situazione in esame. È chiaro che qui non possiamo utilizzare direttamente teoremi o formule generali; per di più, l’enunciato del problema non appare facilmente traducibile in 16 È chiaro che anche questi rettangoli andrebbero considerati nello studio del problema. Tuttavia, per semplicità, esamineremo innanzitutto i rettangoli con i lati disposti in oriz- zontale e in verticale.