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PROGETTO ALICE 2012 - III • •• • vol. XIII • •• • n° 39 S. Capparelli, P. Maroscia Osservazioni: (a) Conviene sottolineare il carattere costruttivo della dimostrazione sopra sviluppata, la quale può essere estesa senza difficoltà anche a rettangoli disposti trasversalmente rispetto alle linee della quadrettatura. In particola- re, su una normale scacchiera 8 × 8 (incluse le linee del bordo) si trova sempre un rettangolo del tipo richiesto. (b) Vale la pena di aggiungere che, se sostituiamo il nostro foglio di carta quadrettata con il piano % (già considerato nello studio del Problema 3), adattando opportunamente la dimostrazione sopra svolta, si ottiene il risul- tato generale seguente: “Fissato un intero arbitrario k 2, comunque si colorino i punti di % utiliz- zando solo k colori, esistono infiniti rettangoli aventi come vertici nodi di uno stesso colore.” (c) È utile segnalare tuttavia che, utilizzando un’infinità numerabile di colori, è possibile colorare i punti di % in modo tale che non vi sia alcun rettangolo avente come vertici nodi di uno stesso colore. Per fare ciò, basta colorare tutti i nodi di ciascuna linea orizzontale con uno stesso colore e usare poi colori, a due a due diversi tra loro, per tutte le linee orizzontali della quadrettatura. Per finire, mostriamo che il Problema 6 può essere risolto anche in altro modo, per un normale foglio di carta quadrettata avente i nodi colorati arbitrariamente con i colori rosso e blu. Consideriamo sette terne di nodi allineati, che indichiamo con (A 1, B 1, C 1), (A 2, B 2, C 2), ..., (A 7, B 7, C 7), disposte sul foglio come illustrato qui sotto: A 1 A A 3 A 4 A A 6 A 7 5 2 B 1 B B 3 B 4 B B 6 B 7 5 2 C 1 C C 3 C 4 C C 6 C 7 2 5 Fig. 9