Page 40 - progetto alice

S. Capparelli, P. Maroscia Alcuni problemi di matematica discreta pur essendo certamente diversi tra loro, in realtà non possono essere considerati distinti, poiché si può passare facilmente dall’uno all’altro con una rotazione o una simmetria rispetto a un asse verticale, sicché in sostanza sono dei “doppioni”. Ciò giustifica la richiesta del problema. Tuttavia, al di là di queste precisazioni, il problema è tutt’altro che faci- le: innanzitutto, non è assolutamente chiaro come partire per risolverlo. Viene qui in mente un’acuta osservazione di Emil Artin, un grande alge- brista del secolo scorso: “La nostra difficoltà non è nelle dimostrazioni, ma nel capire che cosa dimostrare”. Ora, analizzando attentamente il problema, ci accorgiamo che vi sono almeno due grosse difficoltà da superare: la prima riguarda il passaggio “visivo” dallo spazio a tre dimensioni al piano, e viceversa, per verificare la possibilità di “ricostruire” il cubo; la seconda, invece, è legata alla necessità di trovare un’argomentazione rigorosa, o meglio un procedimen- to che ci permetta di calcolare con certezza tutti i possibili sviluppi in questione. A questo punto, dopo un po’ di attività sperimentale, per così dire, pro- vando a disegnare alcuni possibili sviluppi, ci si accorge che può essere molto utile cercare un parametro “significativo” legato al problema, che ci aiuti a studiare il problema stesso. Per esempio, un parametro siffatto è dato dal numero massimo, diciamo , di facce consecutive allineate nello sviluppo. Non è difficile verificare che si ha necessariamente: (17) b c dVef_`2ZVb g H Pertanto, per risolvere il nostro problema, basta esaminare separatamente, al variare di , le configurazioni piane di sei quadrati, a priori ammissibili come sviluppi piani di un cubo, e verificarne poi, caso per caso, la “fattibili- tà”, cioè la possibilità concreta di ricostruire il cubo. Passiamo allora a esaminare i tre casi possibili per : (1) = 4, nel qual caso vi sono esattamente 6 sviluppi distinti, ottenuti partendo da una striscia orizzontale di 4 quadrati consecutivi e disponendo i 2 quadrati rimanenti, uno al disopra e l’altro al di sotto della striscia, in tutti