Page 108 - progetto alice

PROGETTO ALICE 2015 - I •• vol. XVI • n° 46 Mario Barra 111 Teorema: la formula f) si può dimostrare algebricamente, in modo abbastanza semplice, generalizzando ad es. i seguenti passaggi (in parte già utilizzati precedentemente in nota): 2 3 4 1 1 2 3 1 3 4 2 5(1+5 +5 +5 ) = 5 +5 +5 +5 = (1+5 +5 +5 )+5 -1 da cui, “spostando” e 2 4 1 1 2 3 “mettendo in evidenza” (1+5 +5 +5 ), si ottiene (5-1)(1+5 +5 ) = 5 -1, dividendo per (5-1), si ottiene un’altra espressione importante: 4 3 2 1 1+5 +5 +5 = 5 -1 Gli stessi passaggi precedenti 5-1 n i n 0 2 3 1 divengono generali, ponendo: (p =1)+p +p +p +…+p = ∑ p 0 n n i i Moltiplicando per p si ottiene: p ∑ p = ∑ p + p n+1 -1 0 0 n n n i i i da cui: p ∑ p - ∑ p = p n+1 -1 cioè: (p-1) ∑ p = p n+1 -1, 0 0 0 abbiamo così dimostrato la formula f) da cui, dividendo per (p-1) segue la formula g) che è utile per le "progressioni geometriche": n p n+1 -1 i 17)* g) ∑ p = p - 1 0 le formule f) e g), e la loro dimostrazione, sono valide sempre, anche per 0