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114 Mario Barra Problem solving di aritmetica e calcolo combinatorio. Concretizzazioni 21)* Generalizziamo ancora: il “problema di Zenone nello spazio” Un cubo con spigolo e volume unitari, viene diviso in 8 parti uguali e se ne 1 prende una di volume . Poi viene divisa in 8 parti uguali una delle parti 8 1 1 1 1 2 = rimanenti, e se ne prende una, di volume . =( ) . Poi ancora viene 8 8 64 8 divisa in 8 parti uguali una delle parti rimanenti, e se ne prende una, di volume 1 . 1 1 1 3 8 8 64 = 512 = ( )…, e si continua allo stesso modo prendendo l'ottava parte di una delle parti rimanenti ottenuta precedentemente. In questo caso è veramente poco chiaro capire geometricamente che cosa succederà alla fine, cioè non si vede facilmente quale parte del cubo unitario iniziale verrà presa in 1 totale. La risposta si può ottenere applicando la formula t), per p = : 8 1 1 ∞ 1 i 1 1 1 2 1 3 1 i 8 8 1 ∑ ( ) = ( ) + ( ) + ( ) +… + ( ) + … = 1 = = 8 8 8 7 8 8 7 1 1- 8 8 Il risultato si può intuite, certo con difficoltà, geometricamente immaginando di dividere un cubo unitario in 8 parti uguali e poi ancora uno dei cubetti precedentemente ottenuto, in 8 parti uguali, procedendo 1 ogni volta prendendo delle parti rimanenti. Se, ad es. 8 ogni volta si prende il cubo sulla diagonale, ne rimangono sempre 7 uguali a quello considerato. Cioè, a "guardar molto bene" di "somme degli stessi cubi decrescenti" ce ne sono 7 1 (ad es. uno sulla diagonale). Quindi soltanto una di tali somme ricopre del cubo. 7 Se sei arrivato “fino a qui”, vuol dire che molto probabilmente sarai in grado di tornare sul problema anche negli “ipercubi” e soprattutto e molto utilmente, su altri problemi di vario tipo che utilizzano le progressioni o le serie geometriche. Inoltre in alcuni problemi potrai “riscoprire il vecchio e scoprire il nuovo”.