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112 Mario Barra Problem solving di aritmetica e calcolo combinatorio. Concretizzazioni La formula s) permette di “dominare”, in qualche problema; l'infinito e l'infinitesimo. Ad es. permette di trovare la soluzione di alcuni problemi di Zenone (450 a.C.), risolvere qualche problema di "integrazione", … , che potranno essere affrontati successivamente. Dalla formula s), togliendo 1 a sinistra e 1 a destra dell’uguaglianza, ∞ h i 2 3 1 ottiene: t) ∑ p = p + p + p + … + p + … = 15 1 1 1-(1-p) 1-1-(-p) 0+p p = - 1 = = = = 1-p 1-p 1-p 1-p 1-p 19)* Alcuni esempi di applicazioni della formula t), precedente ottenuta, espressi anche geometricamente Un problema di Zenone: 1 Da un segmento di lunghezza unitaria, se ne prende la metà di lunghezza , 2 1 1 2 poi si prende la metà della parte rimanente, di lunghezza = ( ) , 4 2 1 1 3 poi ancora la metà della parte rimanente di lunghezza = ( ) … e si va 8 2 avanti continuando sempre a prendere la metà della parte rimanente. È chiaro che, gradualmente, rimane da considerare una parte sempre più piccola del segmento unitario iniziale, che alla fine si annulla. Il segmento unitario viene suddiviso in infinite parti sempre più piccole, e anche applicando la formula 1 t), per p = 2 1 1 ∞ 1 i 1 1 1 2 1 h 2 2 si ha: ∑ ( ) = ( ) + ( ) +… + ( ) +… = 1 = = 1 2 1 2 2 2 1 1- 2 2 15 Viene indicata questa formula per applicarla direttamente ai problemi che seguono e anche come esercizio sulle frazioni.