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PROGETTO ALICE 2015 - I •• vol. XVI • n° 46 Mario Barra 113 20)* Generalizziamo: il “problema di Zenone nel piano” Un quadrato, con lato e area di misura unitaria, viene diviso in 4 parti uguali e 1 se ne prende una, di area , poi viene divisa in 4 parti uguali una delle parti 4 1 1 1 1 2 . rimanenti e se ne prende una, di area = = ( ) , poi ancora viene 4 4 16 4 divisa in 4 parti uguali una delle parti rimanenti così ottenuta, e se ne prende 1 1 1 1 3 una . = = ( ) … e si continua allo stesso modo prendendo la quarta 4 16 64 4 parte di una delle parti rimanenti ottenuta precedentemente. Ora non è chiaro che cosa succederà alla fine, cioè si vede meno facilmente quale parte verrà presa in totale del quadrato unitario iniziale, perché "alla fine" non viene preso tutto il quadrato, come è accaduto con il segmento unitario nell'esempio precedente . 16 1 La risposta si può avere applicando la formula t), per p = 4 1 1 ∞ 1 i 1 1 1 2 1 3 1 h 4 4 1 si ha: ∑ ( ) = ( ) + ( ) + ( ) +… + ( ) + … = 1 = = 4 3 3 4 4 4 4 1 1- 4 4 Conoscendo il risultato la soluzione geometrica si determina più facilmente: Infatti, a "guardar bene" di "somme degli stessi quadrati decrescenti" ce ne sono 3 (la successione dei quadrati sulla diagonale divide le altre due successioni, simmetriche rispetto a tale diagonale, con la stessa area totale). Quindi una soltanto di queste 1 successioni ricopre del quadrato. 3 16 Sulla base di questa considerazione Emma Castelnuovo riesce a trovare la somma di alcune serie facendo a meno della formula s), oppure t), già trovate. Si veda: "L'infinito, il finito, l'infinitesimo" e in particolare "la formica" in: Castelnuovo E., Barra M., Matematica nella realtà, Boringhieri, Torino, 1976 (ristampato nel 2000), p. 87.