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PROGETTO ALICE 2015 - I •• vol. XVI • n° 46 Mario Barra 115 22)* Necessità di collegamento e di riepilogo dei risultati raggiunti Avevamo già incontrato questo disegno: in @44, p. 247. In quel caso si trattava di una intuizione geometrica, non accettabile secondo la geometria classica perché non prevedeva un numero finito di operazioni, che però poteva essere dimostrata facilmente con il metodo di esaustione 1 3 h 2 perché si intuiva benissimo che (¼) + (¼) + (¼) +… + (¼) + … = 1/3. Adesso abbiamo trovato il risultato con una formula. Il tutto serviva per dimostrare che l’area di un segmento di parabola è 4/3 quella del triangolo inscritto. La questione nodale risiede nel considerare in un modo o in un altro che 2 l’equazione della parabola è y = x . Lucio Russo ci dice che Archimede assume 2 sostanzialmente questo risultato nella Proposizione 1, senza dimostrarlo. y = x è quanto dobbiamo ricordare, e il disegno è semplice perché sappiamo che tutte le 2 parabole sono sia “foto che affini”. In y = x alla ascissa ½ corrisponde l’ordinata ¼ 1/2 C y = x 2 1/4 E' E 1/4 K 1 F G 1/2 1/4 A Y B K' H e poiché KK’ = ½, E’K= EF = ¼ = GH per scorrimento. L’area di ABC è S, quelle di BCE, ACE’ (e di YBG per scorrimento), con base metà e altezza ¼, sono S/8, 2 insieme S/4, e così i 2 triangoli costruiti su CE, EB, CE’, E’A hanno ciascuno area 2 . 2 2 S/8 =S/(24) e insieme S/4 … Ripetendo quanto sottolineato rispetto ai triangoli 2 considerati precedentemente si ritrova la serie S + S/4 + S/4 + … = S + S/3 = 4S/3.