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120 Mario Barra Problem solving di aritmetica e calcolo combinatorio. Concretizzazioni Abbiamo raggiunto un risultato veramente eccezionale che migliora moltissimo quanto è scritto in molti libri nei quali si dice “fa così”, senza alcun miglioramento didattico rispetto ai libri d’abaco dei secoli XIII, XIV e XV. 24)* Ricapitoliamo e generalizziamo 5! 5! 5! |madre| = 5!, |mamme| = , |mamma|= = , perché ci sono 3 m e 2 a, 3! 3!2! 3!2 che scriviamo 3 2 . m a 5! 5! |mamma| = |3 2 |= = , prendiamo ad es. una parola di 16 lettere, m a 3!2! 3!2 se fossero tutte distinte, gli anagrammi sarebbero 16!, se “invece” prendiamo 18 la parola generalizzazione e teniamo conto che 0! = 1, : 16! 16! … … … … |generalizzazione|=|2 a 0 b 0 c 0 d 3 e 1 g 2 i 1 l 0 m 2 n 1 o 1 r 3 z | == = 2!0!0!0!3!1!2!1!0!2!1!1!3! 2!3!2!2!3! Non importa fare il calcolo, ciò che è importante è capire e poter applicare. 4 Consideriamo ad es. (a + b) =(a + b) (a + b) (a + b) (a + b) = ? Quanti sono i prodotti? Ogni volta ci sono 4 fattori scelti in ogni parentesi fra la lettera a, oppure la lettera b. Dobbiamo scegliere fra le 2 lettere per 4 volte. 4 In totale 2 prodotti di quattro fattori: da aaaa fino a bbbb. In particolare ci sono tutti gli anagrammi di: a = alto 3 2 2 4 3 4 aaaa=a , aaab a b, aabb=a b , abbb=ab , bbbb=b dove: b = basso |aaaa|=1, |aaab|=4, |aabb|=6, |abbb|=4, |bbbb|=1 così: . 2 2 . 4 . 3 . . 4 4 3 (a + b) = 1 a + 4 a b + 6 a b + 4 a b + 1 b = 3 4 3 4 2 2 = a + 4a b + 6a b + 4a b + b 2 3 4 4 4 10 2 3 4 (a+b+c+d) = a + … + ? ab c d +… = a + … + 10! ab c d +… 1!2!3!4! 2 3 4 infatti: |ab c d | = |abbcccdddd| = 10! 1!2!3!4! Ci sono poi moltissimi altri problemi che si risolvono con gli anagrammi, le cui proprietà si possono “scoprire di nuovo” in molti modi. 18 In questo modo se uno dei fattori è 0!=1, non si modifica il prodotto degli altri fattori.