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92 Mario Barra Problem solving di aritmetica e calcolo combinatorio. Concretizzazioni 11 3) Analogamente con questa nuova bilancia (n° 2) a 3 piatti dove, spostando un peso dal piatto n° 1 al piatto n° 2, raddoppia il suo valore ai fini della pesatura nel piatto di sinistra (la lunghezza del braccio del piatto n° 2 è doppia di quella del piatto n° 1. Stiamo applicando la legge della leva dimostrata da Archimede): “Come prima, con una sola pesata, si deve pesare da 1kg, ora fino a 26 kg, di riso. Sempre come prima gli oggetti da pesare vanno sul piatto di sinistra, mentre i pesi campione vanno a destra” … "allora anche qui ci deve essere il peso da 1Kg" "Perfetto! poi quale peso conviene prendere? " … se il peso da 1 lo sposto sul piatto n° 2, peso anche 2, e se poi prendo il peso da 3Kg… peso fino a 8, quando 1 e 3 sono posti sul piatto n°2: . . . . . 0, 1, 1 2=2, 3, 3+1=4, 3+1 2=5, 3x2=6, 3 2+1=7, 3 2+1 2=8 … poi conviene prendere il peso da 9 Kg. … Ponendo "9" prima sul primo piatto e poi sul secondo, ove "vale 18", in aggiunta a quanto già ottenuto, da o a 8, possiamo pesare prima da 9 a 17 e poi 3 da 18 a 26. Per andare avanti, occorrerà 27= 3 … … Sono le potenze di 3!!” 12 È vero. i pesi necessari e sufficienti per pesare: 1, 2, …, 26 con la bilancia n° 2, sono indicati dalle potenze di 3. Le cifre 0, 1, 2, nelle colonne della tabella che segue, indicano rispettivamente che il peso indicato in alto, non viene utilizzato, oppure se viene posto sul piatto n° 1, oppure sul piatto n° 2 per poter pesare il numero di chilogrammi indicato nella colonna di sinistra. 11 L’induzione e l’analogia, sono i principali mezzi per raggiungere la verità. questa citazione proviene da: de Laplace P. Simon, 1951 (1814), Saggio filosofico sulle probabilità, Laterza, p. 41. Si può parlare anche di “transfert”. In quanto segue l’analogo processo di scoperta viene riassunto o lasciato immaginare dal lettore. 12 Ogni potenza di 3 supera di 1 “la pesata massima che si ottiene con i pesi precedenti. 0 1 2 3 Infatti, abbiamo visto ad esempio che: 3 = 2(3 +3 +3 )+1, moltiplicando per 3, anche: 1 0 3 2 0 4 1 . . 2 . 3 2 1 3 . 0 3 3 =3 2 (3 +3 +3 +1)=3 =2(3 +3 +3 )+(3=2 3 +1)=2(3 +3 +3 +3 )+1 e questo tipo di calcolo si può ripetere quanto si vuole.